Игровой дизайн, гейм дизайн (game design)
GameDev.ru / Игровой Дизайн / Статьи / Математическая модель игры Доббль (2 стр.)

Математическая модель игры Доббль (2 стр.)

Страницы: 1 2 3 4 5 Следующая

Автор:

Конечная геометрия для грудничков


Сначала зайдём на википедию и почитаем несколько статей. Первая статья описывает понятие конечной геометрии:
Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. [1]

Пока всё просто. Если ручкой на бумаге нарисовать несколько точек, то они уже будут составлять некую конечную геометрию. 
Дальше многих ждёт сюрприз:

Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. [1]

Для нас это значит, что тот листок бумаги, на котором нарисованы наши точки, не является плоскостью с точки зрения конечной геометрии. Это просто носитель точек.

Существуют два вида геометрии на плоскости: аффинная и проективная. В аффинной геометрии используется обычное понятие параллельности прямых. [1]

Вспомним, какими аксиомами описывается афинная геометрия:

Аффинная геометрия на плоскости — это непустое множество X (элементы которого называются «точками»), с непустым набором L  подмножеств X (элементы которого называются «прямая»), таких, что:
  1. Для двух различных точек существует только одна прямая, которая содержит обе точки.
  2. Для прямой и точки p, не принадлежащей , существует одна и только одна прямая ℓ′, содержащая p, такая, что ℓ′ = ∅ .
  3. Существует множество из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. [1]

    Эти аксиомы дают нам возможность понять, как выглядит простейшая афинная плоскость в конечной геометрии:

    Простейшая аффинная плоскость содержит лишь 4 точки, и называется аффинной плоскостью второго порядка. Каждая пара точек определяет уникальную прямую, поэтому указанная плоскость содержит 6 прямых. [1]

    Не очень понятно? Всё верно. Если присмотреться к определению афинной геометрии, то можно заметить, что она оперирует с понятиями теории множеств (элемент, множество, подмножество).
    Это значит, что прямые могут выглядеть совсем не как привычные прямые Евклидовой геометрии.

    На самом деле так и есть. Если взглянуть на рисунок афинной плоскости второго порядка, то мы увидим такую картину:

    1 | Математическая модель игры Доббль
    Рис. 5. Афинная плоскость второго порядка. (Источник ru.wikipedia.org)

    Точки здесь выглядят как обычные чёрные точки, а вот прямые - это разноцветные отрезки. Прямые одинакового цвета считаются параллельными. 
    Как легко заметить, прямые тут не бесконечной длины. По секрету скажу, что понятия длины тут вообще нет, а прямые могут иметь любую форму, как мы вскоре увидим.

    Наверняка %username% до сих пор сомневается, что изображение этой плоскости удовлетворяет аксиомам афинной геометрии. Давайте проверим:

    1. Берём 2 любых точки, например, левую верхнюю и левую нижнюю. 
      Обе эти точки содержит только одна левая красная прямая. 
      Правая красная прямая не содержит ни одной из этих точек, а остальные прямые содержат только одну из них.
    2. Берём левую красную прямую и правую верхнюю точку. Очевидно, что только одна прямая (правая красная) параллельна левой красной прямой, так как проходит через правую верхнюю точку, но не проходит ни через одну из двух левых точек.
    3. На рисунке хорошо видно, что какие бы 3 точки мы ни взяли, одна из них лежит на прямой, отличной от прямой, на которой лежат обе другие точки.
      Две прямых, составляющие диагонали квадрата, не пересекаются, так как не имеют общих точек.

    Если вы хорошо поняли содержание предыдущей картинки, то вот картинка посложней:

    1 | Математическая модель игры Доббль
    Рис. 6. Афинная плоскость третьего порядка. (Источник ru.wikipedia.org)

    Здесь мы видим 9 точек и 12 прямых. Да-да, %username%, эти эллипсы - на самом деле прямые в терминах конечной геометрии.
    Фигуры одинакового цвета - это параллельные прямые. Их трудно заметить, поэтому разделим картинку на несколько:

    1 | Математическая модель игры Доббль 1 | Математическая модель игры Доббль 1 | Математическая модель игры Доббль 1 | Математическая модель игры Доббль
    Рис. 7. Параллельные прямые афинной плоскости третьего порядка.

    Здесь проверка выполнения аксиом займёт чуть больше времени:

    1. Берём 2 любых точки, например, центральную верхнюю и правую нижнюю. Через них проходит только одна из фиолетовых прямых.
    2. Берём левую красную прямую и правую нижнюю точку. Аналогично плоскости второго порядка, только одна правая красная прямая проходит через эту точку, но не проходит ни через одну из трёх левых точек.
    3. Здесь чуть сложнее, чем в случае с плоскостью 2 порядка. Формулировка аксиомы гласит, что нужно найти хотя бы одно (непустое) множество из четырёх точек, в котором никакие три не лежат не одной прямой.
      Очевидно, что 12 множеств с тремя точками, через которых проходят линии на рисунке, не удовлетворяют этому условию. Но ему удовлетворяет, например, множество из четырёх угловых точек.

    В более общем случае, конечная аффинная плоскость порядка n имеет n^2 точек и n^2 + n прямых; каждая прямая содержит n точек, и каждая точка принадлежит n + 1 прямой. [1]

    С афинной геометрией закончили, переходим ко второму типу геометрии на плоскости - проективной.

    В проективной геометрии наоборот, любые две прямые пересекаются в единственно возможной точке, и потому параллельных прямых не существует. [1]

    Предыдущее предложение описывает вторую аксиому проективной геометрии. Первая и третья - такие же, как в афинной.

    Поскольку третья аксиома требует существования как минимум четырёх точек, плоскость должна содержать как минимум 7 точек, чтобы удовлетворить условиям первых двух аксиом. В этой простейшей из проективных плоскостей имеется также 7 прямых; каждая точка принадлежит трём прямым, и каждая прямая содержит три точки. Такую проективную плоскость часто называют "плоскостью Фано". [1]

    1 | Математическая модель игры Доббль
    Рис. 8. Плоскость Фано. (Источник en.wikipedia.org)

    На этом рисунке сложно сразу разобрать все 7 прямых, так что вот пони-вариант той же плоскости:

    1 | Математическая модель игры Доббль
    Рис. 9. Плоскость Фано с раскрашенными прямыми. (Источник mathpuzzle.com. Используется с разрешения Ed Pegg Jr.)

    Итак, плоскость Фано - это проективная плоскость 2 порядка с 7 точками и 7 линиями.

    Страницы: 1 2 3 4 5 Следующая

    5 мая 2017

    #геймдизайн, #Доббль


    Обновление: 21 мая 2017

    2001—2017 © GameDev.ru — Разработка игр