Программирование игр, создание игрового движка, OpenGL, DirectX, физика, форум
GameDev.ru / Программирование / Статьи / Основы 3D математики: Векторные и матричные преобразования.

Основы 3D математики: Векторные и матричные преобразования.

Автор:

1. Векторы.

Вектор — направленный отрезок, имеющий направление и длину. Векторы обозначаются так: a = (x,y,z), например, b = (0, 1, –2).

Еще одно представление вектора: AB = (x,y,z).
AB = (x,y,z) = (bx–ax,by–ay,bz–az),
где A и B — 2 точки, A(ax,ay,az) и B(bx,by,bz), A — начало вектора, B — конец вектора.

Длина вектора.

Длина вектора, |a|, считается так:

|a| = sqrt(ax2+ay2+az2).

Сложение векторов.

a + b = c;
a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz).

т. е. как результат мы получаем вектор.

Вычитание векторов.

c – a = b;
c – a = (cx – ax, cy – ay, cz – az).

как результат - также мы получаем вектор.

Cкалярное произведение векторов.(dot)

Скалярное произведение 2х векторов - произведение длин 2х векторов на cos угла между ними.
Скалярное произведение векторов - это длина проекции вектора a на вектор b. (При условии, что вектор b - единичный)

a . b = |a| |b| cos α;
или
a . b = axbx + ayby + azbz;
Следствие: α — угол между двумя векторами: cos α = a . b / (|a| |b|);

Проекция одного вектора на другой.

Для того чтобы вычислить проекцию вектора b на вектор a, требуется нормировать вектор a, то есть сделать его единичным, и произвести скалярное умножение этого вектора на вектор b, а затем полученное число умножить на нормированный вектор a.

Обозначим искомый вектор как c. тогда:

an = a / |a|;
c = (an . b) an;

фактически, мы находим длину проекции и, умножая ее на вектор, проекцию которого мы нашли, маштабируем его до нужного размера.

Умножение вектора на вектор.(cross)

Умножая вектор a на вектор b, мы получим вектор, перпендикулярный плоскости, которую определяют вектора a и b.

a x b = ( aybz — byaz , azbx – bzax , axby – bxay);

фактически, таким образом находиться вектор нормали к полигонам.

2. Матрицы.

Здесь я постарался вкратце изложить то, что мы будем делать с матрицами.

скалярное произведение векторов:

 [ a ]   [ d ]   

[ b ] * [ f ] = a*d + b*f + c*g
[ c ]  [ g ]

Векторное произведение:

       [ a ]   [ d ]   [ b*f - c*e ]

AxB = [ b ] x [ e ] = [ c*d - a*f ]
      [ c ]  [ f ]  [ a*e - b*d ]

Сложение матриц:

 [ 1 2 3 ]   [ 10 11 12 ]   [ 1+10 2+11 3+12 ]

[ 4 5 6 ] + [ 13 14 15 ] = [ 4+13 5+14 6+15 ]
[ 7 8 9 ]  [ 16 17 18 ]  [ 7+16 8+17 9+18 ]

Умножение матриц:

 [ 1 2 3 ]   [ 10 11 12 ]   [ 1*10+2*13+3*16  1*11+2*14+3*17  1*12+2*15+3*18 ]

[ 4 5 6 ] * [ 13 14 15 ] = [ 4*10+5*13+6*16  4*11+5*14+6*17  4*12+5*15+6*18 ]
[ 7 8 9 ]  [ 16 17 18 ]  [ 7*10+8*13+9*16  7*11+8*14+9*17  7*12+8*15+9*18 ]

Очень важным является тот факт, что (A*B)*С = A*(B*C)

3. Векторные и матричные преобразования.

Параллельный перенос:

Переносим точку (x,y,z) на вектор (dx,dy,dz), в результате получим точку с координатами (x+dx, y+dy, z+dz);

Поворот:

Поворачиваем точку (x,y) на угол α :

  x' = x cos α - y*sin α
  y' = x sin α + y*cos α

для трехмерного случая — аналогично для каждой плоскости.

Ясно, что если нам потребуется (а нам потребуется :) ) проводить для каждой точки в пространстве параллельный перенос + поворот в пространстве, то придется сделать огромное количество преобразований.

Можно построить матрицы преобразований, помножив точку - вектор на которую, мы получим результат — координаты искомой точки.

матрица параллельного переноса:

  [ 1  0  0  0 ]

  [ 0  1  0  0 ]
  [ 0  0  1  0 ]
  [ x  y  z  1 ]

матрица растяжения/сжатия:

  [ z  0  0  0 ]

  [ 0  y  0  0 ]
  [ 0  0  x  0 ]
  [ 0  0  0  1 ]

матрица поворота вокруг оси x:

  [ 1    0      0    0 ]

  [ 0  cos α  sin α  0 ]
  [ 0 -sin α  cos α  0 ]
  [ 0    0      0    1 ]

матрица поворота вокруг оси y:

  [ cos α  0 -sin α  0 ]

  [  0    1    0    0 ]
  [ sin α  0  cos α  0 ]
  [  0    0    0    1 ]

матрица поворота вокруг оси z:

  [ cos α  sin α  0  0 ]

  [-sin α  cos α  0  0 ]
  [  0      0    1  0 ]
  [  0      0    0  1 ]

Теперь, зачем нужны матрицы в 3D-програмировании, если можно все сделать с помощью векторов, и если, например, поворот точки с помощью векторов занимает меньше операций, чем используя матрицы.

Например, мы отодвигаем камеру и поворачиваем ее. для этого требуется произвести серию операций (переносов, поворотов) с точками (вершинами полигонов) в 3D-сцене. т.е. для каждой точки произвести сначала параллельный перенос, а затем - повороты по всем осям. при использовании векторов мы просто проведем все эти операции отдельно для каждой точки... что весьма ресурсоемко. или - матричные параллельные переносы, повороты.... еще более ресурсоемко, но вспомним:

(A*B)*C = A*(B*C)

Для матриц.. а нам требуется провести такие преобразования: a*A*B*C*D, где - а-точка-вектор, над которым требуется произвести действия, а A,B,C,D - матрицы переноса и поворотов. Мы вполне можем не последовательно умножать точку-вектор a на матрицы переносов, а сначала перемножить эти матрицы, а затем просто умножать получившуюся матрицу на каждую точку, которую требуется сместить - перемножение 4х матриц, а затем умножение 1 вектора на 1 матрицу на каждую точку по сравнению с подвержением каждой точки векторным преобразованиям - весьма и весьма значительное сокращение производимых операций.

11 июня 2002

#3D, #векторы, #математика, #матрицы

2001—2017 © GameDev.ru — Разработка игр