В.В. Цисарж, Р.И. Марусик

Краткое описание.
Содержание
Контактная информация по поводу заказов или вопросам по книге.

Краткое описание.

При внимательном знакомстве с журнальной и зарубежной литературой последнего времени выпуска 2000 - 2003г., которая касается рассмотрения вопросов разработки современных математических методов и информационных технологий компьютерной графики, а также личный опыт авторов, при создании компьютерных игр на РС, PS, PS2 и разработки динамических симуляторов, позволяет сделать вывод о бурном и достаточно широком использовании в настоящее время последних достижений, полученных в разных областях математики. В настоящее время используются: нейросетевые подходы при создании искусственного интеллекта и решении задач управления динамическими объектами, современные методы нелинейного и динамического программирования, основы нечетких множеств и вейвлет методы.

К сожалению учебная и методическая литература по применению и использованию этих методов в компьютерной графике в основном зарубежная, а имеющаяся отечественная литература весьма бедна и неполна.

Содержание предложенной книги можно рассматривать как попытку авторов положить начало выпуску ряда книг по математическим методам компьютерной графики учебного характера с требуемым объемом математических выкладок и доказательством необходимых теорем, которая, как надеются авторы, поможет расширить область своих математических знаний специалистам и программистам, занятых в области разработки математических методов компьютерной графики, компьютерных игр и динамических симуляторов.

Первая книга состоит из 20 глав с необходимыми дополнительными сведениями справочного характера, доказательством необходимых теорем, утверждений и т.п. Изложение материала в данной книге строится от простого к более сложному.

В главе 1 вводится в рассмотрение понятие направленного отрезка, а затем доказывается соотношение между тремя точками, которые лежат на прямой (теорема Шаля). Включение этого материала в данную книгу позволяет дать общие математические выводы аналитических соотношений (формул), относящихся к задачам аналитической геометрии: расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве, делении направленного отрезка в данном отношении, площадь треугольника и т.д., а также получить необходимые и достаточные условия принадлежности трех точек одной прямой и принадлежности четырех точек одной плоскости.

В главе 2 изложены математические основы векторной алгебры. Рассмотрены вопросы линейной зависимости векторов. Доказаны теоремы, а также получены аналитические математические соотношения условий коллинеарности и компланарности векторов. Введено в рассмотрение понятие базиса.

В главе 3 введены в рассмотрение понятия скалярного, векторного произведения двух векторов в 3D пространстве, а также смешанного и двойного векторного произведения векторов. Приведены соответствующие математические формулы для введенных понятий и доказаны необходимые теоремы для векторного произведения. Приведены соответствующие аналитические соотношения в виде определителей, скалярной формы и кососимметрического оператора.

В главе 4 рассмотрены вопросы аналитического математического описания прямой (линии) в параметрической, канонической и нормальной форме. Приведены математические условия взаимного расположения прямых в пространстве с доказательством необходимых теорем и получены необходимые аналитические соотношения. Приведены условия ортогональности прямых, а также уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении.

Глава 5 посвящена математическому описанию плоскостей в 3D пространстве, а также взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Вводится в рассмотрение понятие пучка плоскостей и связки плоскостей. Приведены математические аналитические соотношения взаимного расположения трех плоскостей в 3D пространстве, а также прямой и плоскости в пространстве. Выводится уравнение общего перпендикуляра к двум неколлинеарным прямым. Введено в рассмотрение понятие кратчайшего расстояния между двумя прямыми. Все формы уравнений приводятся с необходимыми доказательствами.

В главе 6 рассмотрены вопросы линейного преобразования и линейного отображения множества точек пространства, плоскости и прямой. Введено в рассмотрение понятие ортогонального преобразования и движения. Излагаются свойства аффинных преобразований и отображений. Проводится анализ собственных векторов преобразований. Исследуется самосопряженное линейное преобразование и его собственные векторы. В данной главе представлено аффинное преобразование в виде произведения ортогонального преобразования и трех сжатий попарно перпендикулярным плоскостям.

В главе 7 рассматриваются вопросы преобразования декартовой системы координат в 2D и 3D пространстве. Приводятся аналитические соотношения перехода от одной декартовой системы координат к другой с той же и противоположной ориентацией осей и с тем же началом координат в 3D пространстве.

Глава 8 посвящена рассмотрению гиперкомплексных чисел. В данной главе вводится в рассмотрение определение кватернионов, устанавливается связь кватернионов и векторной алгебры. Исследуются свойства кватернионов. Рассмотрен вопрос представления кватерниона на сфере. Приведена основная теорема Эйлера.

В главе 9 рассмотрена математическая теория конечного поворота твердого тела в 3D пространстве. Доказывается представление ортогонального преобразования в форме умножения кватернионов. Приведены аналитические соотношения для математического описания вектора конечного поворота, вектора ориентации, параметров Родрига - Гамильтона и Кейли - Клейна, углов Эйлера и Эйлера - Крылова, а также направляющих косинусов, которые характеризуют угловое пространственное положение твердого тела в 3D пространстве. Рассмотрен вопрос сложения поворотов. Устанавливается связь параметров Родрига - Гамильтона с другими кинематическими параметрами. Введено в рассмотрение понятие бикватерниона. Рассмотрены также вопросы линейной и сферической линейной интерполяции для кватернионов, вопрос определения координат вектора при угловых поворотах и аналитического определения матрицы ортогонального поворота по кватерниону.

Рассматривается класс нетрадиционных (ненормированных) кватернионов и приводится пример их использования при решении задач пространственной угловой ориентации твердого тела (космического аппарата)

Глава 10 посвящена вопросу трассировки лучей. Приведены необходимые математические сведения при решении кубических полиномов и полиномов четвертой степени, которые в дальнейшем используются при определении координат точек пересечения линии и шара, луча и эллипсоида, луча и эллиптического цилиндра, луча с круговым тором и т.д. Рассматривается вопрос математического описания пересечения поверхностей второго порядка с прямой, а также прямой с полигоном. Приведено аналитическое условие принадлежности точки данному треугольнику.

Глава 11 затрагивает вопросы математического описания областей отсечения. Вводятся в рассмотрения понятия: проецирование, интерполяция атрибутов вершин, перспективная проекция, ортографическая проекция. Затронут вопрос математического описания плоскостей отсечения с выводом необходимых математических формул.

В главе 12 рассматриваются вопросы освещения поверхностей. Вводятся понятия: цвета RGB, источник освещения, диффузного света, бликов, наложения текстур, затемнения и т.д.

Глава 13 посвящена вопросам математического аналитического описания динамики свободной материальной точки в 3D пространстве. В главе приводится целый ряд динамических уравнений движения материальной точки:
· Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме.
· Дифференциальное уравнение движения в координатной форме.
· Уравнение движения в произвольной ортогональной системе координат.
· Уравнение движения в форме Лагранжа в случае сферических, цилиндрических, полярных координат.

Рассмотрены частные случаи интегрирования уравнений движения свободной материальной точки в конечном виде. Отдельно рассмотрено движение тяжелой материальной точки брошенной вертикально вверх и под углом к горизонту. Приведены различные виды колебательных движений материальной точки. Помещен материал математического описания свободных затухающих и вынужденных колебаний материальной точки. Устанавливается влияние силы сопротивления на вынужденные колебания материальной точки.

В главе 14 рассматриваются вопросы динамики относительного движения. Приводится основное уравнение динамики относительного движения, а также некоторые частные случаи относительного движения материальной точки. Вводится понятие движения материальной точки при наличии нестационарной связи.

В главе 15 рассмотрены общие сведения о механических системах и приведена их классификация. Введены понятия центра масс механической системы, моментов инерции механической системы относительно точки и оси, тензора инерции. Освещен вопрос преобразования тензора инерции механической системы.

В главе 16 приводятся общие теоремы динамики системы материальных точек, а именно: теорема об изменении количества движения механической системы в неинерциальной системе координат, теорема о движении центра масс механической системы. Достаточно подробно рассмотрены вопросы математического описания элементарной теории удара, удара материальной точки о неподвижную плоскость, прямого центрального удара двух шаров. Рассмотрены примеры других вариантов соударения двух шаров. В этой же главе приведены аналитические соотношения для математического описания соударения двух объектов, произвольно перемещающихся в пространстве, а также произвольно перемещающихся в пространстве с учетом трения.

В главе 17 вводится в рассмотрение понятие момента количества движения материальной точки. Рассмотрены вопросы аналитического вычисления момента количества движения материальной точки и кинетического момента механической системы, а также преобразования кинетического момента в различных системах координат. Доказываются основные теоремы об изменении кинетического момента в различных системах координат.

В главе 18 рассматривается кинетическая энергия материальной точки, системы материальных точек, а также твердого тела. Доказываются основные теоремы об изменении кинетической энергии в различном движении.

Глава 19 посвящена вопросам динамики твердого тела. В данной главе приводятся уравнения произвольных движений свободного твердого тела, а также уравнения поступательного и плоскопараллельного движения твердого тела. Здесь же рассмотрено уравнение движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Вводятся понятия: числа степеней свободы механической системы, обобщенных координат, скоростей и сил. Указаны способы вычисления обобщенных сил и изложен принцип возможных перемещений.

Глава 20 посвящена рассмотрению уравнений движения Лагранжа второго рода. Приводятся уравнения движения в полярных, сферических и цилиндрических системах координат. Рассмотрена теорема об изменении кинетической энергии механической системы в обобщенных координатах и скоростях. Приводятся уравнения движения Лагранжа второго рода в однородных координатах.

В главе рассмотрен ряд примеров составления уравнений движения Лагранжа второго рода. Отдельно рассмотрен вопрос динамики многозвенных механических систем и их дифференциальных уравнений.

Содержание

Глава 1. Аналитическая геометрия на прямой. Вектора.

1.1. Направленные отрезки.
1.2. Ось. Координаты направленного отрезка.
1.3. Ось координат.
Координата точки.
1.4. Теорема Шаля.
Координата направленого отрезка, заданного двумя точками.
Расстояние между двумя точками, лежащими на оси.
1.5. Деление направленного отрезка в данном отношении.
1.6. Вектора.
1.7. Параллельное проектирование.
1.8. Общая декартова и декартова прямоугольная система координат на плоскости.
1.9. Общая декартова и декартова прямоугольная система координат в пространстве.
1.10. Координата вектора на плоскости и в пространстве.
1.11. Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве.
1.12. Деление направленного отрезка в данном отношении.

Глава 2. Математические основы векторной алгебры.

2.1. Сумма и разность векторов.
Произведение числа на вектор.
2.2. Линейная зависимость векторов.
Линейная комбинация векторов.
Коллинеарность векторов.
Компланарность векторов.
2.3. Базис и координаты вектора.

Глава 3. Скалярные и векторные произведения двух векторов. Смешанное и двойное векторное произведение.

3.1. Скалярное произведение двух векторов.
3.2. Угол от одного вектора до другого вектора на плоскости.
3.3. Векторное произведение двух векторов.
3.4. Смешанное произведение трёх векторов.
3.5. Координаты векторного произведения.
3.6. Двойное векторное произведение.

Глава 4. Линия в 2D и 3D пространстве.

4.1. Уравнение прямой в 2D пространстве, проходящей через данную точку в данном направлении.
4.2. Параметрические уравнения прямой в 2D пространстве.
4.3. Уравнение прямой в 2D пространстве, проходящей через две точки.
4.4. Взаимное расположение двух прямых.
Пучок прямых.
Взаимное расположение трёх прямых в 2D пространстве.
4.5. Нормальное уравнение прямой в 2D пространстве.
4.6. Угол между двумя прямыми в 2D пространстве.
Условие ортогональности двух прямых.
4.7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, в данном направлении. Параметрическое уравнение прямой в 3D пространстве.

Глава 5. Плоскость и прямая в 3D пространстве.

5.1. Уравнение плоскости в 3D пространстве, проходящей через данную точку компланарно двум неколлинеарным векторам.
5.2. Общее уравнение плоскости в 3D пространстве.
5.3. Параметрические уравнения плоскости в 3D пространстве.
5.4. Уравнение плоскости в 3D пространстве, проходящей через две точки компланарно данному вектору.
5.5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой.
5.6. Взаимное расположение двух плоскостей в 3D пространстве.
5.7. Взаимное расположение двух прямых 3D пространстве.
5.8. Взаимное расположение прямой и плоскости 3D пространстве.
5.9. Прямая, как линия пересечения двух плоскостей 3D пространстве.
5.10. Пучок плоскостей.
5.11. Взаимное расположение трёх плоскостей 3D пространстве.
5.12. Связка плоскостей.
5.13. Нормальное уравнение плоскости.
5.14. Расстояние от точки до плоскости.
5.15. Угол между двумя плоскостями.
Условие их оргональности.
5.16. Угол между прямой и плоскостью.
5.17. Уравнение общего перпендикуляра к двум неколлинеарным прямым.
5.18. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми.

Глава 6. Отображения и преобразования.

6.1. Произведение преобразований.
6.2. Линейные преобразования и линейные отображения множества точек пространства,
плоскости и прямой.
6.3. Ортогональные преобразования и движения.
6.4. Свойства аффинных преобразований и отображений.
6.5. Подобные преобразования.
6.6. Собственные векторы линейного преобразования.
6.7. Самосопряжённое линейное преобразование и его собственные векторы.
6.8. Представление аффинного преобразования в виде произведения ортогонального
преобразования и трёх сжатий к попарно перпендикулярным плоскостям.

Глава 7. Преобразование декартовой системы координат в 2D и 3D пространстве.

7.1. Перенос системы координат.
7.2. Преобразование общей декартовой системы координат на плоскости.
7.3. Преобразование общей декартовой системы координат в пространстве.
7.4. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат в 2D пространстве
к другой с той же ориентацией и с тем же началом координат.
7.5. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат в 2D пространстве
с противоположной ориентацией и с тем же началом координат.
7.6. Общее преобразование одной декартовой прямоугольной системы координат на
плоскости в другую.
7.7. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой системе в
3D пространстве.

Глава 8. Гиперкомплексные числа.

8.1. Комплексные числа.
8.2. Определение кватернионов.
8.3. Кватернионы и векторная алгебра.
8.4. Свойства кватернионов.
8.5. Представление кватерниона на сфере.
8.6. Преобразование вращения.
Теорема Эйлера.

Глава 9. Теория конечного поворота твёрдого тела в 3D пространстве.

9.1. Направляющие косинусы.
9.2. Представление ортогонального преобразования в форме умножения кватернионов.
9.3. Преобразование базисов.
9.4. Гиперкомплексное отображение.
9.5. Инвариантность операции вращения.
9.6. Конечный поворот.
Вектор конечного поворота.
9.7. Вектор ориентации.
9.8. Параметры Родрига-Гамильтона.
9.9. Параметры Кейли-Клейна.
9.10. Углы Эйлера и Эйлера-Крылова.
9.11. Сложение поворотов.
9.12. Связь параметров Родрига-Гамильтона с другими кинематическими параметрами.
Бикватернионы.
9.13. Сплайны Кочанека-Бартельса.
9.14. Сферическая линейная интерполяция для кватернионов.
9.15. Определение координат вектора при угловых поворотах.
9.16. Определение матрицы ортогонального поворота по кватерниону.
9.17. Применение нетрадиционных (ненормированных) кватернионов для управления
ориентацией твердого тела.

Глава 10. Трассировка лучей.

10.1. Квадратные полиномы.
10.2. Кубические полиномы.
10.3. Полиномы четвёртой степени.
10.4. Пересечение линии и шара.
10.5. Пересечение луча и эллипсоида.
10.6. Пересечение луча с эллиптическим цилиндром.
10.7. Пересечение луча с круговым тором.
10.8. Пересечение поверхности второго порядка с прямой.
10.9. Пересечение прямой с полигоном.
10.10. Условие принадлежности точки данному треугольнику.
10.11. Нормальный вектор эллипсоида.
10.12. Отражение и преломление лучей.
10.13. Пересечение трёх плоскостей.

Глава 11. Математическое описание областей отсечения.

11.1. Интерполирование перспективной коррекции.
11.2. Интерполяция атрибутов вершин.
11.3. Проецирование.
11.4. Перспективная проекция.
11.5. Ортографическая проекция.
11.6. Извлечение плоскостей отсечения.

Глава 12. Освещение поверхностей.

12.1. Цвет RGB
12.2. Источники освещения.
12.3. Диффузный свет.
12.4. Наложение текстур.
Текстурный мапинг.
12.5. Блики.
12.6. Излучение.
12.7. Затенение.

Глава 13. Динамика свободной материальной точки в 3D пространстве.

13.1. Динамические уравнения движения свободной материальной точки.
13.2. Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме.
13.3. Дифференциальное уравнение движения материальной точки в координатной форме.
13.4. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме.
13.5. Уравнения движения материальной точки в произвольной ортогональной системе координат.
13.6. Уравнения движения свободной материальной точки в форме Лагранжа в случае сферических координат.
13.7. Уравнения движения свободной материальной точки в форме Лагранжа в случае цилиндрических координат.
13.8. Уравнения движения свободной материальной точки в форме Лагранжа в случае полярной системы координат.
13.9. Две задачи динамики свободной материальной точки.
13.10. Частные случаи интегрирования уравнений движения свободной материальной точки в конечном виде.
13.11. Движение тяжелой материальной точки, брошенной вертикально вверх.
13.12. Движение тяжелой материальной точки, брошенной под углом к горизонту.
13.13. Виды колебательных движений материальной точки.
13.14. Свободные колебания материальной точки.
13.15. Затухающие колебания материальной точки.
13.16. Вынужденные колебания материальной точки без учета сопротивления среды.
13.17. Влияние силы сопротивления на вынужденные колебания материальной точки.

Глава 14. Динамика относительного движения.

14.1. Основное уравнение динамики относительного движения.
14.2. Некоторые частные случаи относительного движения материальной точки.
14.3. Движения материальной точки при наличии нестационарной связи.

Глава 15. Общее сведения о механических системах. Меры механического движения. Геометрия масс. Основные теоремы.

15.1. Классификация механических систем.
15.2. Динамические уравнения движения механических систем.
15.3. Меры механического движения.
15.4. Центр масс механической системы.
15.5. Моменты инерции механической системы.
15.6. Моменты инерции механической системы относительно произвольной оси, проходящей через данную точку.
15.7. Тензор инерции механической системы в некоторой точке.
15.8. Преобразование тензора инерции механической системы.

Глава 16. Общие теоремы динамики системы материальных точек.

16.1. Количество движения механической системы.
16.2. Преобразование количества движения механической системы при переходе от неинерциальной системы отсчета к системе отсчета, принимаемой за неподвижную.
16.3. Теорема об изменении количества движения механической системы.
Теорема о движении центра масс.
16.4. Теорема об изменении количества движения механической системы в неинерциальной системе координат.
16.5. Теорема о движении центра масс механической системы.
16.6. Законы сохранения количества движения механической системы.
16.7. Об элементарной теории удара.
16.8. Удар материальной точки о неподвижную плоскость.
16.9. Прямой центральный удар двух шаров.
16.10. Другие варианты соударения двух шаров.
16.11. Соударение двух объектов, произвольно перемещающихся в пространстве.
16.12. Соударение двух объектов, произвольно перемещающихся в пространстве с учетом трения.

Глава 17. Момент количества движения материальной точки.

17.1. Вычисление момента количества движения материальной точки и кинетического момента механической системы.
17.2. Преобразования кинетического момента механической системы при перемене центра приведения.
17.3. Преобразования кинетического момента механической системы при переходе от поступательно движущейся неинерциальной системы отсчета к неподвижной.
17.4. Преобразования кинетического момента механической системы при переходе от произвольной неинерциальной системы отсчета к неподвижной.
17.5. Вычисление кинетического момента в различных случаях движения твердого тела.
17.6. Теорема об изменении кинетического момента механической системы в инерциальной системе координат.
17.7. Теорема об изменении кинетического момента механической системы, вычисленного относительно подвижного полюса.
17.8. Теорема об изменении кинетического момента механической системы при движении относительно неинерциальной системы координат.
17.9. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
17.10. Законы сохранения кинетического момента механической системы.

Глава 18. Кинетическая энергия материальной точки, системы материальных точек, твердого тела.

18.1. Кинетическая энергия материальной точки и систем материальных точек.
18.2. Преобразование кинетической энергии механической системы при переходе от поступательно движущейся неинерциальной системы отсчета к неподвижной.
18.3. Преобразование кинетической энергии механической системы при переходе от произвольной неинерциальной системы отсчета к неподвижной.
18.4. Вычисление кинетической энергии в частных случаях движения твердого тела.
18.5. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.
18.6. Теорема об изменении кинетической энергии несвободной материальной точки.
18.7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении.
18.8. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы относительно неподвижной системы координат.
18.9. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в относительном движении по отношению к неинерциальной системе отсчета.
18.10. Полная механическая энергия системы материальных точек и закон ее изменения и сохранения.

Глава 19. Динамика твердого тела.

19.1. Основные динамические величины твердого тела и связь между ними.
19.2. Уравнения произвольных движений свободного твердого тела.
19.3. Уравнения поступательного движения твердого тела.
19.4. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.
19.5. Приведение системы сил действующих на тело, движущихся плоскопараллельно, к равнодействующей.
19.6. Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки.
19.7. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции.
Случай Эйлера-Пуансо.
19.8. Классификация связей.
Число степеней свободы механической системы.
19.9. Действительные и возможные перемещения.
19.10. Число степеней свободы механической системы.
19.11. Принцип возможных перемещений.
19.12. Обобщенные координаты, обобщенные скорости, обобщенные силы.
19.13. Обобщенные силы и способы их вычисления.

Глава 20. Уравнения Лагранжа второго рода.

20.1. Тождества Лагранжа.
20.2. Уравнение движения в полярных координатах.
20.3. Уравнение движения в цилиндрических координатах.
20.4. Уравнение движения в сферических координатах.
20.5. Кинетическая энергия и диссипативная функция в обобщенных координатах и скоростях.
20.6. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в обобщенных координатах и скоростях.
20.7. Об уравнениях Лагранжа второго рода.
20.8. Уравнения Лагранжа второго рода в однородных координатах.
20.9. Примеры составления уравнений движения Лагранжа второго рода.
20.10. Динамика многозвенных механических систем.

Контактная информация по поводу заказов или вопросам по книге.

Свои вопросы отправляйте по адресу
rim@dynamic-systems.com.ua
желательно, в поле Тема указывайте "Book".

Предварительная цена книги примерно 12-13$.
Для России - 500-600 руб, для Украины - 50-60 гривен.

Другие новости о книге можно узнать на сайте Динамические системы.